⏱️ 30 秒版（先看這裡！）

一、消耗戰：每回合選「繼續耗」或「放棄」，先放棄的人輸——兩邊都耗就一起流血。 二、就算兩邊都超級理性，也可能陷入又長又慘的血戰（一戰壕溝、割喉價格戰）。 三、沉沒成本：已經付出、收不回的代價，不該再拿來當「繼續耗下去」的理由。

⚔️ 消耗戰：誰先撐不住誰就輸

玩個殘酷的遊戲。獎品值 $1 元。每一回合，兩人同時選擇「繼續耗（Fight）」或「放棄（Quit）」：

• 只要有一方放棄，另一方就贏得獎品，遊戲結束。
• 只要兩人都選繼續耗，這一回合兩人都要付出成本（例如各賠 0.75 元），然後進入下一回合。

聽起來很簡單，對吧？但課堂實驗裡，有兩組學生為了搶 $1元的獎品，硬是耗了好幾輪，\ast \ast 兩人賠掉的錢遠超過那$1 元**！

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① 為什麼會越陷越深？

學生耗下去的三個理由：

1. 不想輸的骨氣：獎品在心裡被放大到「不只值 $1」，就是嚥不下這口氣。
2. 想立威名：想讓大家知道「我是狠角色」，方便以後嚇人。
3. 沉沒成本：「我都已經賠這麼多了，現在放棄不就白賠了？」

第三點特別重要，也特別容易搞錯——這叫沉沒成本謬誤。已經付出去、拿不回來的代價，在決定「要不要繼續」時應該完全忽略！因為不管你接下來怎麼選，過去的損失都一樣收不回。理性的做法是只問：「從現在起，繼續耗划不划算？」

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② 真實世界的消耗戰

這種戰爭在現實中處處可見，而且慘烈：

• 第一次世界大戰：兩軍在壕溝裡對峙四年，為了幾畝土地賠上數百萬條人命。
• 衛星電視割喉戰：英國兩家公司送天線、免月費地互砍，虧掉的錢遠超過整個市場的未來利潤。
• 行賄搶標：兩家公司拚命向將軍送錢搶合約，賄款送出去就收不回——這叫全付拍賣（不管有沒有得標，出的錢都得付）。

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③ 最聰明的玩法，是「擲骰子決定要不要耗」

賽局理論算出來的均衡答案是：每回合用固定機率決定要不要繼續耗。這個「繼續耗」的機率是 獎品 ÷（獎品＋成本）。

• 獎品越大 → 越想繼續耗。
• 成本越高 → 越想放棄。

殘酷的真相是：就算雙方 100% 理性、沒有意氣用事，為了不讓對方白白搶走獎品，你還是必須保持一定機率繼續耗——結果就是真的會打起來。理性，不保證和平。

🤔 小朋友想想看： 兩個人搶一個玩具，如果誰都不肯先放手，最後會不會兩個人都玩不到、還吵到被沒收？怎樣才能不陷進這種局？

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🎒 今天學到了什麼？

1. 消耗戰：每回合選繼續耗或放棄，先放棄者輸，雙方都耗則一起付成本。
2. 即使雙方完全理性，也會陷入漫長昂貴的衝突（一戰、割喉戰、行賄）。
3. 沉沒成本已無法收回，不該影響「要不要繼續」的決定。
4. 均衡的繼續機率 = 獎品 ÷（獎品＋成本）；獎品越大越想耗、成本越高越想放棄。

Q: 「消耗戰」的規則是什麼？
- 誰先動手誰贏
- *每回合同時選繼續耗或放棄，先放棄者輸、雙方都耗就一起付成本
- 比誰跑得快
解釋: 只要一方退出對方即獲獎品；雙方持續戰鬥則不斷累積成本。
Q: 「沉沒成本」在決定要不要繼續時，應該？
- 越多越要撐下去
- *完全忽略，因為過去的損失無論如何都收不回
- 加倍計算
解釋: 沉沒成本出現在所有後續分支中會被抵銷，不影響最佳決策。
Q: 均衡下「繼續耗」的機率跟什麼有關？
- 誰比較兇
- *獎品越大越想耗、成本越高越想放棄（機率＝獎品÷(獎品＋成本)）
- 完全隨機沒規律
解釋: P*=V/(V+C)，反映獎賞與成本對戰鬥意願的相反影響。

20. Subgame Perfect Equilibrium: Wars of Attrition

📖 家長導讀

本講以「消耗戰」示範：即使雙方完全理性、無非理性動機，SPE 仍可導致漫長昂貴的衝突。透過課堂現金實驗、歷史與商業案例，並推導二階段與無限期的混合策略 SPE。孩子版聚焦「消耗戰規則、沉沒成本、繼續機率」；本版補齊公式與延續價值分析。

🔍 完整概念

一、設定與動機。 每期雙方同時選 Fight／Quit：一方 Quit 則對方得獎品 $V$、賽局結束；雙方 Fight 每期各付 $-C$；雙方 Quit 得 0。實驗 $V=1$、$C=0.75$。持續對峙的三動機：贏的偏好（pride）、聲譽、沉沒成本謬誤。沉沒成本出現在後續所有分支，計算最佳反應時被抵銷，故策略無關。

二、真實案例與全付拍賣。 一戰西線壕溝戰（四年、數百萬傷亡）；英國 Sky TV 對 BSB 衛星電視割喉戰（虧損超過市場未來總利潤）；競標行賄（賄款沉沒）。此類賽局在拍賣理論稱全付拍賣（all-pay auction）——不論得標與否皆須付出標價。要旨：完全理性下理性玩家仍會捲入昂貴衝突。

三、二階段模型。 第二階段矩陣（已扣首期沉沒 $-C$）：雙 Fight $(-C,-C)$、一 Fight 一 Quit $(V,0)/(0,V)$、雙 Quit $(0,0)$。純策略納許：(Fight,Quit)、(Quit,Fight)。混合策略令對手無異：$-C\cdot P+V(1-P)=0\Rightarrow P^{\ast }=\frac{V}{V+C}$（$V$↑則 $P^{\ast }$↑、$C$↑則 $P^{\ast }$↓），延續價值為 0。滾回第一階段：若第二階段採純策略，第一階段即 (Fight,Quit)，無實質戰鬥；若採混合策略（延續價值 0），第一階段矩陣與第二階段相同，故兩期皆以 $P^{\ast }$ Fight，實質戰鬥以 $(P^{\ast }{)}^2$、$(P^{\ast }{)}^4$ 機率發生。

四、無限期模型。 任意第 $t$ 期：過去成本已沉沒、未來延續價值為 0，決策矩陣與單期相同。無限期混合策略 SPE：每期皆以 $P^{\ast }=\frac{V}{V+C}$ Fight，整體期望收益為 0。戰爭持續至第 $t$ 期機率 $(P^{\ast }{)}^{2t}$，呈幾何分佈（指數衰減）。結論：雙方皆理性且互知理性時，為防對方無代價奪獎，須保持一定戰鬥機率，反致實質衝突。應用延伸：道路收費／交通規劃、稅改行為反應、勞資罷工。

✅ 查核筆記（依本模型知識庫）

• 課程來源：屬實，Yale ECON 159 第二十講，Ben Polak，Open Yale Courses。
• 消耗戰混合均衡 $P^{\ast }=\frac{V}{V+C}$：屬實，Maynard Smith 消耗戰／全付拍賣的標準結果。
• 一戰西線、Sky TV vs BSB：屬實，前者為歷史事實；後者 1990 年合併為 BSkyB 前的燒錢競爭屬實。
• 沉沒成本策略無關：屬實，理性決策原則；課堂用以對照人類的沉沒成本謬誤。

📚 原始出處

• Yale ECON 159 第二十講（YouTube）｜Ben Polak，Open Yale Courses

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🧭 接下來讀這篇

• 👉 下一關：為什麼「知道是最後一次」就會有人翻臉？
• 🔁 根源：大家都偷懶會怎麼樣？　血戰，也是一種困境。

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